¿Cuánto mide un metro?

Leyendo el libro Quantum computing since Democritus, de Scott Aaronson, me encuentro con un divertido hecho matemático que no conocía, y que comparto con vosotros (supongo que se tratará de un teorema con alguna denominación común, pero el libro no la da, y no la he encontrado).
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Se trata del hecho de que, si descomponemos en una serie infinita de intervalos un segmento de la recta de los números reales -p.ej., el segmento (0,1)-, ese conjunto de intervalos podemos reordenarlos de tal forma cubran TODA la recta de los números reales, en su infinita longitud.
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Aquí va una versión de andar por casa de la prueba (basada en lo poco que dice el libro al respecto; disculpas a los entendidos si meto la pata en algún detalle, y agradecido de antemano por las posibles correcciones):
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En primer lugar, descomponemos el segmento (0,1) de la manera siguiente: primero tomamos el intervalo abierto que va de 0 a 1/2 (o sea, 1/2¹); después tomamos el intervalo que va de 1/2 a 3/4 (o sea, un intervalo justo a continuación, y con longitud 1/4 = 1/2²); después, el intervalo entre 3/4 y 7/8 (idem, con longitud 1/8 = 1/2³); luego el intervalo entre 7/8 y 15/16 (un intervalo de longitud 1/16 = 1/2⁴), y así sucesivamente. O sea, empezamos tomando la mitad del intervalo (0,1), luego la mitad de lo que queda, luego la mitad de lo que queda, y así hasta el infinito.
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En segundo lugar, recordemos que el conjunto de los números racionales tiene dos propiedades muy importantes: es numerable (podemos formular una función que asigne para cada número natural un número racional, de tal forma que no sobre ningún número racional) y es denso (entre dos números reales cualesquiera hay infinitos números racionales, tan próximos al primero como queramos).
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A partir de la primera propiedad podemos hacer lo siguiente: formulemos una numeración cualquiera de los números racionales, de tal forma que los tengamos ordenados del primero al último: q₁, q₂, ..., q_n,... (nota: no se trata de ordenarlos "de mayor a menor", lo que obviamente no puede hacerse, pues no hay un número racional que sea el menor de todos, ni el mayor, ni el siguiente a un número racional dado; sino numerarlos según cualquier función definible entre los números naturales y los racionales, tal como la famosa enumeración de Cantor -ver imagen-).
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En tercer lugar, lo que hacemos es sencillamente asignar al número racional que va en el i-ésimo lugar de esa numeración, el segmento i-ésimo de la serie de segmentos que habíamos sacado del intervalo (0,1), y colocamos ese segmento sobre la recta de los números reales, de tal modo que su centro coincida con el número racional i-ésimo.
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Esto implica que alrededor de cada número racional habremos colocado un intervalo de extensión mayor que cero. Sólo queda por comprobar que no nos hemos dejado ningún "hueco" en la recta real, de tal forma que la suma de esos huecos sea tan grande que los intervalos que hemos colocado no la cubran entera, sino sólo una parte finita (por ejemplo, su longitud "original" igual a 1).
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Para esto aplicamos, en cuarto lugar, la propiedad de la densidad de los números racionales. Vamos a descomponer la prueba en dos casos. Primero, no podemos habernos dejado ningún intervalo de la recta real sin cubrir, es decir, un conjunto (a,b), donde a y b son números irracionales, y donde no haya colocado ningún fragmento de los que sacamos del segmento (0,1). Esto es obvio, porque entre los números a y b habrá infinitos números racionales, y cada uno de ellos tendrá colocado a su alrededor un intervalo de los que hemos tomado.
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Segundo, no podemos habernos dejado ningún número irracional "suelto": si hubiera sido así, tendríamos que el número irracional que nos hemos dejado (p.ej., el raíz de 2 de la imagen) tendría un intervalo a la derecha y otro a la izquierda, de los cuales sería el límite. Pero por construcción de nuestra serie de segmentos, tenemos que la longitud de todos los intervalos sacados del segmento (0,1) es igual a un número racional, y al haberlos colocado de tal forma que justo en su centro haya un número racional, la distancia entre ese número y el borde del intervalo es justo la mitad del intervalo, una medida que también es un número racional, de modo que el límite de los intervalos no puede coincidir nunca con un número irracional.
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Así pues, todos los números irracionales de la recta real deben estar dentro de algún intervalo de los que hemos recolocado de esta manera tan ingeniosa.
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¿Cuánto mide, por tanto, "realmente" el segmento (0,1)? Pues depende: no tiene una medida "real" y "absoluta", sino que depende de en qué orden enumeremos los segmentos. Lo que demuestra la construcción que acabo de ofrecer es que hay algún modo de ordenar los infinitos segmentos en que descompusimos el segmento (0,1) de tal modo que la longitud que nos sale es infinita. QED.
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Por cierto, la misma prueba sirve también para demostrar que el intervalo (0,1) -o, para el caso, cualquier otro intervalo del tamaño que deseemos, p.ej., el intervalo (5,000000001, 5,000000002)- podemos cortarlo en trozos que, recolocándolos, cubran cualquier otra longitud que deseemos -p.ej., enumerando el conjunto de números racionales del intervalo (2000, 6000), de modo que hayamos cubierto una longitud de 4000 unidades-.
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Es decir, que una determinada extensión (un metro, p.ej.), nos puede dar de sí todo lo que queramos. Lo que venían a hacer nuestras madres con el sueldo familiar, o mi tocayo más famoso con los panes y los peces, vaya.